About Topology

 Στον κλάδο της τοπολογίας, το ακριβές σχήμα των αντικειμένων δεν έχει μεγάλη σημασία. Φανταζόμαστε τα αντικείμενα σα να αποτελούνται από εύπλαστη ζύμη ή πλαστελίνη, η οποία μπορεί να εκταθεί, να συμπιεστεί και να λυγίσει σε όποιο βαθμό θέλουμε. το ακριβές σχήμα ενός αντικειμένου - η απόσταση μεταξύ δύο σημείων - είναι ένα ουσιαστικό ζήτημα της γεωμετρίας του αντικειμένου. Θεωρώντας αντικείμενα από πλαστελίνη, οι τοπολόγοι ανακαλύπτουν ποιες ιδιότητες του αντικειμένου είναι τόσο θεμελιώδεις ώστε να υπάρχουν ανεξάρτητα της γεωμετρικής δομής του. Οι τοπολόγοι λένε χαρακτηριστικά ότι γι αυτούς ένας λουκουμάς με σχήμα δαχτυλιδιού και ένα φλιτζάνι δεν ξεχωρίζουν. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να μορφοποιήσουμε ένα φλιτζάνι από πλαστελίνη σε σχήμα λουκουμά, πιέζοντας την πλαστελίνη γύρω-γύρω, χωρίς ν' ανοίξουμε τρύπες ή να κολλήσουμε ανεξάρτητες περιοχές του.Μια μπάλα από την άλλη μεριά, μπορεί να μετατραπεί σε λουκουμά, μόνο αν ανοίξουμε μια τρύπα στο μέσον της ή αν την τεντώσουμε στο ανάπτυγμα ενός κυλίνδρου και κολλήσουμε μαζί τα άκρα του αναπτύγματος αυτού.Επειδή όμως χρειάζονται τέτοια κοψίματα και κολλήματα, μια μπάλα δεν είναι ίδια τοπολογικά με ένα λουκουμά. 

Αυτό που ενδιαφέρει περισσότερο τους τοπολόγους είναι η επιφάνεια  Οι τοπολογίες εξακολουθούν να διαφέρουν: ένα σφαιρικό μπαλόνι δεν μπορεί να μορφοποιηθεί σε ένα δακτυλιοειδές μπαλόνι, το οποίο λέγεται τόρος. Τοπολογικά, μια σφαίρα και ένας τόρος είναι διαφορετικά πράγματα. Οι πρώτοι τοπολόγοι καταπιάστηκαν με το ζήτημα, πόσα διαφορετικά τοπολογικά αντικείμενα υπάρχουν και πως θα μπορούσαν αυτά να χαρακτηριστούν. Για τα 2-διάστατα αντικείμενα, τα οποία λέγονται επίσης και επιφάνειες, η απάντηση είναι καθαρή: Ο αριθμός τους εξαρτάται από το πόσα "χερούλια" δηλαδή λαβές έχουν.     

Στην τοπολογία, το ακριβές σχήμα δηλαδή η γεωμετρία δεν είναι κάτι σημαντικό. 

Είναι σαν να είναι όλα κατασκευασμένα από πλαστελίνη ή λάστιχο και να μπορούμε να τα διαμορφώνουμε με έκταση, συμπίεση ή συστροφή. Απαγορεύεται ωστόσο να τα κόψουμε ή να τα κολλήσουμε. Έτσι στην τοπολογία, κάθε αντικείμενο με μια μόνο τρύπα, όπως στο φλιτζάνι του καφέ είναι ισοδύναμο με τον λουκουμά.

Στον κλάδο της τοπολογίας ανήκουν και τα fractals ή μορφοκλασματικά (στα ελληνικά), τα οποία αποτελούν δομές που προκύπτουν από ένα απλό αλγόριθμο, ο οποίος επαναλαμβάνεται εαυτόν σε όλο και μικρότερες κλίμακες χωρίς ουσιώδεις αλλαγές. Με βάση αυτόν τον αλγόριθμο που προκύπτουν τα fractals, δημιουργούνται πορώδεις δομές και τοπολογικά σύνολα με συνεχείς "τρύπες-χερούλια", καθώς επίσης έχουν αναφορές σε οργανικές μορφολογίες. 

Τέλος η τοπολογική σπείρα προκύπτει με διαδοχικές ελικώσεις μιας επίπεδης καμπύλης γύρω από ένα σημείο, αποκρυνόμενη όλο και περισσότερο από το σημείο αυτό .